Garch Prozess

Auszug aus Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/GARCH-Modell)

GARCH-Modelle (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity) sind stochastische Modelle zur Zeitreihenanalyse, die eine Verallgemeinerung der ARCH-Modelle (autoregressive conditional heteroscedasticity) sind. Sie werden beispielsweise in der Ökonometrie bei der Analyse der Renditen von Aktienkursen zur Modellierung des Volatilitätsclusterings verwendet. GARCH-Modelle wurden 1986 von Tim Bollerslev auf der Grundlage des ARCH-Modells von Robert F. Engle (1982) entwickelt.

Eine Zeitreihe $(x_t)_{t \in \Z}$ heißt GARCH(p,q)-Zeitreihe, wenn sie rekursiv definiert ist durch

$\begin{align} x_t &= \sigma_t \epsilon_t \\ \sigma_t^2 &= a_0 + a_1 x_{t-1}^2 + \dotsb + a_p x_{t-p}^2 + b_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsb + b_q \sigma_{t-q}^2, \end{align}$

wobei $a_0, \dotsc, a_p$ mit $a_p \neq 0$ reelle, nichtnegative Parameter sind, und der Prozess $(\epsilon_t)_{t\in \Z}$ aus unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit $\operatorname{E}(\epsilon_t) = 0$ und $\operatorname{Var}(\epsilon_t) = 1$ besteht.

Bei einem GARCH-Modell hängt also die bedingte Varianz $\sigma_t^2 = \operatorname{Var}(x_t \mid x_{t-1},x_{t-2}, \dotsc)$ von von ihrer eigenen Vergangenheit und der Vergangenheit der Zeitreihe ab.