Ist der Risikofaktor als „Time Series“ gekennzeichnet, muss dieser als stochastischer Prozess beschrieben werden. Mit den Kombinationen von Auswahlfeldern wird definiert, wie der Risikofaktor beschrieben werden soll.
• Transformation:
Möglichkeit, den modellierten Prozess noch einmal mathematisch zu transformieren.
Oft kommt es vor, dass der eigentlich notwendige Faktor selbst mit Hilfe von stochastischen Prozessen nur schwer zu beschreiben ist, jedoch ein anderer Faktor, worauf dieser basiert, gut bzw. einfach zu modellieren und der Übergang zwischen den beiden nur eine eher einfache mathematische Funktion ist. Als Beispiel kann die Anwendung von Preisindex und Inflationsrate betrachtet werden. Der Preisindex ist die Wachstumsfunktion der Inflationsrate (der einzelnen Jahre). Die Wachstumsfunktion kann in diesem Zusammenhang die Transformation darstellen. Den Preisindex direkt mit einem Prozess zu modellieren, ist nicht einfach, die Inflationsrate (der einzelnen Jahre) ist dagegen eher einfach. In diesem Fall ist es hilfreich, die Inflationsrate zu modellieren und zusätzlich mit Hilfe einer Transformation dies zum Preisindex umzuwandeln.
Ein weiterer Vorteil der Möglichkeit der Transformation liegt bei der Möglichkeit, mit Hilfe von Logarithmieren nichtlinearer Zusammenhänge zuerst als lineare Zusammenhänge zu modellieren (dessen Parametrisierung um einiges einfacher ist) und durch eine Transformation mit Hilfe der Exponentfunktion wieder in nichtlinearen Kontext zu bringen.
Folgende Transformationsfunktionen stehen zur Verfügung:
o Direkt: Es findet keine Transformation statt.
o Wachstum: Es findet eine Transformation in einen Wachstumsprozess statt. Der beschriebene Prozess stellt die Wachstumsrate in den einzelnen Perioden dar, und der Wert des Risikofaktors einer Periode entspricht dem Wert der Vorperiode multipliziert mit 1+Wachstumsrate
o Logarithmisch: Es findet eine Transformation mit Hilfe eines Wachstumsprozesses statt. Der beschriebene Prozess stellt den logarithmierten Wert dar und der Wert des Risikofaktors einer Periode entspricht dem Wert der Exponentialfunktion bei diesem Wert
o Additiver Zyklus: der modellierte Prozess wird mit einer Zyklusvariable überlagert. Beschreibung der Parametrisierung eines Zyklus können Sie aus 9.2.2 entnehmen.
• Prozess:
Mit diesem Auswahlfeld wird ausgewählt, welcher stochastische Prozess verwendet wird. Je nach ausgewähltem Prozess verändert sich die (notwendige) Menge der Inputparameter (vgl. 9.2.2). Folgende Prozesse stehen zur Verfügung (die ausführliche Erklärung der Parameter ist aus 9.2.2 zu entnehmen):
o Random Walk: Ein stochastischer Prozess dessen Realisation im Zeitpunkt t nur von seiner (100% gewichteten) Realisation in der Vorperiode und einem weißen Rauschen abhängt. (vgl. 19.36).
notwendige (stochastikunabhängige) Parameter:
• Startwert (Yt-1)
o Random Walk mit Drift: ein Random Walk (siehe oben) mit einem additiven Faktor pro Periode (Drift). Der Drift wird in jeder Periode auf den Periodenwert ohne Drift addiert.
notwendige (stochastikunabhängige) Parameter:
• Startwert (Yt-1)
• Drift (a0)
o AR(1): Autoregressiver Prozess erster Ordnung. Ein stochastischer Prozess dessen Realisation im Zeitpunkt t von seiner (beliebig gewichteten) Realisation in der Vorperiode und einem weißen Rauschen abhängt. (vgl. 19.35)
notwendige (stochastikunabhängige) Parameter:
• Startwert (Yt-1)
• Gewichtung des Vorjahres (a1)
AR(1) + Mean Reversion: Autoregressiver Prozess erster Ordnung. Mit additivem Mean Reversion-Effekt. Ein stochastischer Prozess dessen Realisation im Zeitpunkt t von seiner (beliebig gewichteten) Realisation in der Vorperiode, von der Abweichung zwischen der Realisation der Vorperiode und dem langfristigen Mittelwert (Mean Reversion Komponente) und einem weißen Rauschen abhängt. (vgl. 19.35). Der langfristige Mittelwert kann wiederum zeitabhängig gestaltet werden. Hierzu kann ausgehend von dem Startwert dieses Mittelwertes mit einer Wachstumsrate, einer periodenabhängigen absoluten Änderung sowie eines Zielwertes und der Wirkungsfaktor dieses Zielwertes (eine Art Mean Reversion, des Prozesses des langfristigen Mittelwertes) ein periodenabhängige Wert modelliert werden.
notwendige (stochastikunabhängige) Parameter:
• Startwert (Yt-1)
• Gewichtung des Vorjahres (a1)
•
Startwert des langfristigen Mittelwertes (
)
• Stärkefaktor der Mean-Reversion (a3)
•
Wachstumsrate des langfristigen Mittelwertes (
)
• Periodenabhängige absolute Änderung des langfristigen Mittelwertes (mt)
•
Zielwert des langfristigen Mittelwertes (
)
• Stärkefaktor des Zielwert des langfristigen Mittelwertes (ay)
o MA(1): Moving-Avarage (gleitender Durchschnitt) Prozess erster Ordnung. Ein stochastischer Prozess dessen Realisation im Zeitpunkt t von seiner (beliebig gewichteten) Realisation des Störfaktors der Vorperiode und einem weißen Rauschen abhängt. (vgl. 19.42)
notwendige (stochastikunabhängige) Parameter:
• Startwert (Yt-1)
• Gewichtung des Vorjahres (a4)
• Startwert der Störvariable (st-1)
o ARMA(1,1): Autoregressiv-Moving Avarage Prozess. Eine additive Kombination eines AR(1) und eines MA(1) Prozesses. Ein stochastischer Prozess dessen Realisation im Zeitpunkt t von seiner (beliebig gewichteten) Realisation in der Vorperiode (AR-Komponente), von der (beliebig gewichteten) Realisation des Störfaktors der Vorperiode (MA-Komponente) und einem weißen Rauschen abhängt. (vgl. 19.42)
notwendige (stochastikunabhängige) Parameter:
• Startwert (Yt-1)
• Konstante / Drift (a0)
• Gewichtung des Vorjahres für AR Komponente (a1)
• Startwert der Störvariable (st-1)
• Gewichtung des Vorjahres für MA Komponente (a4)
o ARMA(1,1) + Mean Reversion: Autoregressiv-Moving Avarage Prozess. Eine additive Kombination eines AR(1) und eines MA(1) (vgl. oben) und eines Mean Reverting (vgl. 19.32) Prozesses. Ein stochastischer Prozess dessen Realisation im Zeitpunkt t von seiner (beliebig gewichteten) Realisation in der Vorperiode (AR-Komponente), von der (beliebig gewichteten) Realisation des Störfaktors der Vorperiode (MA-Komponente), von der Abweichung zwischen der Realisation der Vorperiode und dem langfristigen Mittelwert (Mean Reversion Komponente) und einem weißen Rauschen abhängt.
Der langfristige Mittelwert kann wiederum zeitabhängig gestaltet werden. Hierzu kann ausgehend von dem Startwert dieses Mittelwertes mit einer Wachstumsrate, einer periodenabhängigen absoluten Änderung sowie eines Zielwertes und der Wirkungsfaktor dieses Zielwertes (eine Art Mean Reversion, des Prozesses des langfristigen Mittelwertes) ein periodenabhängige Wert modelliert werden.
notwendige (stochastikunabhängige) Parameter:
• Startwert (Yt-1)
• Konstante / Drift (a0)
• Gewichtung des Vorjahres für AR Komponente (a1)
• Startwert der Störvariable (st-1)
• Gewichtung des Vorjahres für MA Komponente (a4)
•
Startwert des langfristigen Mittelwertes ()
• Stärkefaktor der Mean-Reversion (a3)
•
Wachstumsrate des langfristigen Mittelwertes ()
• Periodenabhängige absolute Änderung des langfristigen Mittelwertes (mt)
•
Zielwert des langfristigen Mittelwertes ()
• Stärkefaktor des Zielwert des langfristigen Mittelwertes (ay)
o ARMA(2,1) + Mean Reversion: Autoregressiv-Moving Avarage Prozess. Eine additive Kombination eines AR(2) und eines MA(1) (vgl. oben) und eines Mean Reverting (vgl. 19.32) Prozesses. Ein stochastischer Prozess dessen Realisation im Zeitpunkt t von seiner (beliebig gewichteten) Realisation in der Vorperiode, von der Realisation der Vor-Vorperiode (AR(2)-Komponente), von der (beliebig gewichteten) Realisation des Störfaktors der Vorperiode (MA-Komponente), von der Abweichung zwischen der Realisation der Vorperiode und dem langfristigen Mittelwert (Mean Reversion Komponente) und einem weißen Rauschen abhängt.
Der langfristige Mittelwert kann wiederum zeitabhängig gestaltet werden. Hierzu kann ausgehend aus dem Startwert dieses Mittelwertes mit einer Wachstumsrate, einer periodenabhängigen absoluten Änderung sowie eines Zielwertes und des Wirkungsfaktors dieses Zielwertes (eine Art Mean Reversion, des Prozesses des langfristigen Mittelwertes) ein periodenabhängige Wert modelliert werden.
notwendige (stochastikunabhängige) Parameter:
• Startwert (Yt-1)
• Konstante / Drift (a0)
• Gewichtung des Vorjahres für AR Komponente (a1)
• Gewichtung des Vor-Vorjahres für AR Komponente (a2)
• Startwert der Störvariable (st-1)
• Gewichtung des Vorjahres für MA Komponente (a4)
•
Startwert des langfristigen Mittelwertes ()
•
Vor-Vorjahreswert des langfristigen Mittelwertes (
)
• Stärkefaktor der Mean-Reversion bezogen auf das Vorjahr (a3)
• Stärkefaktor der Mean-Reversion bezogen auf das Vor-Vorjahr (a5)
•
Wachstumsrate des langfristigen Mittelwertes ()
• Periodenabhängige absolute Änderung des langfristigen Mittelwertes (mt)
•
Zielwert des langfristigen Mittelwertes ()
• Stärkefaktor des Zielwert des langfristigen Mittelwertes (ay)
o Manuell: Erwartungswerte der einzelnen Periode können per Hand direkt erfasst werden.
notwendige (stochastikunabhängige) Parameter:
• Erwartungswerte der einzelnen Perioden
o DAR Manuell: Die Änderung der Erwartungswerte der einzelnen Periode gegenüber dem Erwartungswert des Vorjahres kann beschrieben werden. Dabei kann der Anwender eine
▪ periodenunabhängige absolute Änderung
▪ periodenunabhängig relative Änderung (Wachstumsrate)
▪ periodenabhängige absolute Änderung
erfassen.
notwendige (stochastikunabhängige) Parameter:
• Startwert (Yt-1)
• Absolute Änderung der Erwartungswerte der einzelnen Perioden (Dt)
• Periodenunabhängig relative Änderung (Wachstumsrate) der Erwartungswerte (r)
• Periodenunabhängige absolute Änderung der Erwartungswerte (W)
o Zyklus: Prozess für Beschreibung einer Schwingung. Modelliert wird eine Sinusschwingung, was sowohl in Amplitude (Schwingungsstärke) als auch in Phase manipuliert werden kann. Außerdem kann der Anwender neben einer Konstante (was effektiv den Startwert ohne Phasenverschiebung darstellt) einen Drift des Mittelwertes einstellen.
notwendige (stochastikunabhängige) Parameter:
• Konstante (c)
• Drift (b)
• Amplitude der Schwingung (A)
• Zykluslänge (Zykluslänge)
• Phasenverschiebung (f)
• Stochastik: Bestimmt wie der Unsicherheitsfaktor des Prozesses (Störfaktor, Epsilon) modelliert wird. Mittelwert des Störfaktors wird, wie üblich, implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen. Folgende Stochastiken stehen zur Auswahl:
o Normal: Der Unsicherheitsfaktor wird mit einer Normalverteilung mit dem Parameter Standardabweichung (als Zeitunabhängige Variable, siehe 9.2.2) modelliert.
o Garch Normal: Der Unsicherheitsfaktor wird mit einem Garch-Prozess (vgl. 19.38) mit Normalverteilung mit dem Parameter Standardabweichung (als Zeitunabhängige Variable, siehe 9.2.2) modelliert
o Normal-Pareto: Der Unsicherheitsfaktor wird mit einer Kombination von Normalverteilung und Paretoverteilung (vgl. 19.39) mit dem Parameter Standardabweichung (für die Normalverteilung) sowie Potenz (für die Paretoverteilung) und Grenze (ausgedrückt als Quantilgröße, für den Übergang zwischen Normalverteilung und Paretoverteilung) als zeitunabhängige Variablen, (siehe 9.2.2) modelliert.