Verteilungsfunktion

Mathematisch gesehen stellt die Verteilungsfunktion das Integral der Dichtefunktion der Verteilung dar.

Damit gibt sie an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich x annimmt. Somit kann diese auch als die Umkehrung des Quantils (siehe 19.1) gedeutet werden.

Zum Unterschied zwischen Quantilwert und Wert der Verteilungsfunktion siehe auch 19.9.

Auszug aus Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Verteilungsfunktion):

Eine (kumulative) Verteilungsfunktion ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine reellwertige Funktion, mit der man die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer reellen Zufallsvariable beschreiben kann. In der Regel spricht man einfach von einer Verteilungsfunktion. Die explizite Kennzeichnung als kumulativ soll der Verwechslung mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Dichtefunktion vorbeugen.

Die Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariablen X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega , \Sigma, P)$ wird meist als diejenige Funktion $F_X \colon \R \to [0,1]$ definiert, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich x annimmt:

$F_X(x) := P(X \le x)$ .

Dabei bezeichnet die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, das aus denjenigen $\omega \in \Omega$ besteht, für die $X(\omega) \le x$ gilt.