Diese Parameter werden für die Parametrisierung der Prozesse verwendet und sind unabhängig von der Stochastik.
• a0: Konstanter Faktor (Absolutwert) mit additiver Wirkung bzw. Drift
Abbildung 158: Beispielhaftes Random Walk (ohne Drift, a0=0) (links) und Random Walk mit Drift a0=0,01 (rechts)
o Explizite Erfassung bei:
▪ Random Walk mit Drift: Durch den speziellen Aufbau dieses Prozesses (a1 = 1, siehe unten) entspricht a0 dem Drift. Der Mittelwert erhöht sich jedes Jahr um diesen Absolutwert
▪ MA(1): Durch den speziellen Aufbau dieses Prozesses (a1 = 0, siehe unten) entspricht a0 der Konstante und wird effektiv einmalig auf den Startwert addiert.
▪ ARMA(1,1): Je nach Ausgestaltung des Prozesses (Einstellung für a1) entspricht a0 sowohl der Konstante als auch teilweise einem Drift.
▪ ARMA(1,1) + Mean Reversion: Je nach Ausgestaltung des Prozesses (Einstellung für a1) entspricht a0 sowohl der Konstante als auch teilweise einem Drift.
▪ ARMA(2,1) + Mean Reversion: Je nach Ausgestaltung des Prozesses (Einstellung für a1 und a2) entspricht a0 sowohl der Konstante als auch teilweise einem Drift.
o Implizite Annahmen bei:
▪ Random Walk: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ AR(1): Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ AR(1) + Mean Reversion: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ Manuell: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ DAR Manuell: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ Zyklus: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
• a1: Wirkungsfaktor der Realisation des Vorjahres
Abbildung 159: Beispielhaftes AR(1) Prozess mit a1=1 (entspricht Random Walk, links) und a1=0,9 (rechts)
o Explizite Erfassung bei:
▪ AR(1)
▪ AR(1) + Mean Reversion
▪ ARMA(1,1)
▪ ARMA(1,1) + Mean Reversion
▪ ARMA(2,1) + Mean Reversion
o Implizite Annahmen bei:
▪ Random Walk: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ Random Walk mit Drift: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ MA(1): Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ Manuell: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ DAR Manuell: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ Zyklus: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
• a2: Wirkungsfaktor der Realisation des Vor-Vorjahres
o Explizite Erfassung bei:
▪ ARMA(2,1) + Mean Reversion
o Implizite Annahmen bei:
▪ Random Walk: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ Random Walk mit Drift: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ MA(1): Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ AR(1) : Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ AR(1) + Mean Reversion: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ ARMA(1,1): Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ ARMA(1,1) + Mean Reversion: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ Manuell: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ DAR Manuell: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ Zyklus: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
• a3: Stärkefaktor der Mean Reversion
Drückt einen „Rückzugseffekt“ des langfristigen Mittelwertes aus und beschreibt, welcher Anteil des Abstandes zwischen dem realisierten Wert und dem langfristigen Mittelwert innerhalb eines Jahres abgebaut wird. Durch diesen Effekt kann die Abweichung vom Mittelwert mit der Zeit nicht so stark wachsen, als ohne eine Mean Reversion.
Abbildung 160: Beispielhaftes AR(1) Prozess ohne Mean Reversion (links) und mit Mean Reversion a3=0,2 (rechts)
o Explizite Erfassung bei:
▪ AR(1) + Mean Reversion
▪ ARMA(1,1) + Mean Reversion
▪ ARMA(2,1) + Mean Reversion
o Implizite Annahmen bei:
▪ Random Walk: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ Random Walk mit Drift: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ MA(1): Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ AR(1) : Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ ARMA(1,1): Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ Manuell: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ DAR Manuell: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ Zyklus: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪
• a4: Wirkungsfaktor der Realisation des Störfaktors aus der Vorperiode
o Explizite Erfassung bei:
▪ MA(1)
▪ ARMA(1,1)
▪ ARMA(1,1) + Mean Reversion
▪ ARMA(2,1) + Mean Reversion
o Implizite Annahmen bei:
▪ Random Walk: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ Random Walk mit Drift: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ AR(1) : Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ Manuell: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ DAR Manuell: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ Zyklus: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
• a5: Wirkungsfaktor der Mean Reversion bezogen auf das Vor-Vorjahr
o Explizite Erfassung bei:
▪ ARMA(2,1) + Mean Reversion
o Implizite Annahmen bei:
▪ Random Walk: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ Random Walk mit Drift: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ MA(1): Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ AR(1) : Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ AR(1) + Mean Reversion: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ ARMA(1,1): Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ ARMA(1,1) + Mean Reversion: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ Manuell: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ DAR Manuell: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
▪ Zyklus: Implizit per Prozessdefinition mit 0 angenommen, und damit ohne Wirkung
•
: Wachstumsrate des
langfristigen Mittelwertes
Abbildung 161:
Beispielhafter AR(1) Prozess mit Mean Reversion ohne Wachstum des langfristigen
Mittelwertes (links) und mit Wachstum =0,02 (rechts)
o Explizite Erfassung bei:
▪ AR(1) + Mean Reversion
▪ ARMA(1,1) + Mean Reversion
▪ ARMA(2,1) + Mean Reversion
o Implizite Annahmen bei:
▪ Random Walk: nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ Random Walk mit Drift: nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ MA(1): nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ AR(1) : nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ ARMA(1,1): nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ Manuell: nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ DAR Manuell: nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ Zyklus: nicht relevant da keine Mean Reversion
•
: Zielwert des
langfristigen Mittelwertes
o Explizite Erfassung bei:
▪ AR(1) + Mean Reversion
▪ ARMA(1,1) + Mean Reversion
▪ ARMA(2,1) + Mean Reversion
o Implizite Annahmen bei:
▪ Random Walk: nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ Random Walk mit Drift: nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ MA(1): nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ AR(1): nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ ARMA(1,1): nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ Manuell: nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ DAR Manuell: nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ Zyklus: nicht relevant da keine Mean Reversion
• ay: Stärkefaktor des Rückkehrs des Langfristigen Mittelwertes zu seinem Zielwert
o Explizite Erfassung bei:
▪ ARMA(1,1): ARMA(1,1) + Mean Reversion
▪ ARMA(2,1) + Mean Reversion
o Implizite Annahmen bei:
▪ Random Walk: nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ Random Walk mit Drift: nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ MA(1): nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ AR(1): nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ ARMA(1,1): nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ Manuell: nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ DAR Manuell: nicht relevant da keine Mean Reversion
▪ Zyklus: nicht relevant da keine Mean Reversion
• et-1: Startwert der Realisation des Störterms.
Um bei Prozessen mit MA Komponenten die Berechnung in der ersten Periode durchführen zu können, wird die Realisation des Störterms der Vorperiode benötigt.
o Explizite Erfassung bei:
▪ MA(1)
▪ ARMA(1,1)
▪ ARMA(1,1) + Mean Reversion
▪ ARMA(2,1) + Mean Reversion
o Implizite Annahmen bei:
▪ Random Walk: nicht relevant da keine MA Komponente
▪ Random Walk mit Drift: nicht relevant da keine MA Komponente
▪ AR(1): nicht relevant da keine MA Komponente
▪ AR(1) + Mean Reversion: nicht relevant da keine MA Komponente
▪ Manuell: nicht relevant da keine MA Komponente
▪ DAR Manuell: nicht relevant da keine MA Komponente
▪ Zyklus: nicht relevant da keine MA Komponente
• r: Wachstumsrate der Änderung des Mittelwertes gegenüber dem Startwert bei dem Prozess DAR-Manuell.
o Explizite Erfassung bei:
▪ DAR Manuell
o Implizite Annahmen bei:
▪ Random Walk: implizit mit 0 angenommen, also keine Wirkung
▪ Random Walk mit Drift: implizit mit 0 angenommen, also keine Wirkung
▪ MA(1): implizit mit 0 angenommen, also keine Wirkung
▪ AR(1): implizit mit 0 angenommen, also keine Wirkung
▪ AR(1) + Mean Reversion: implizit mit 0 angenommen, also keine Wirkung
▪ Manuell: implizit mit 0 angenommen, also keine Wirkung
▪ DAR Manuell: implizit mit 0 angenommen, also keine Wirkung
▪ Zyklus: implizit mit 0 angenommen, also keine Wirkung
• W: Additive periodenunabhängige Änderung des Mittelwertes gegenüber dem Startwert bei dem Prozess DAR-Manuell.
o Explizite Erfassung bei:
▪ DAR Manuell
o Implizite Annahmen bei:
▪ Random Walk: implizit mit 0 angenommen, also keine Wirkung
▪ Random Walk mit Drift: implizit mit 0 angenommen, also keine Wirkung
▪ MA(1): implizit mit 0 angenommen, also keine Wirkung
▪ AR(1): implizit mit 0 angenommen, also keine Wirkung
▪ AR(1) + Mean Reversion: implizit mit 0 angenommen, also keine Wirkung
▪ Manuell: implizit mit 0 angenommen, also keine Wirkung
▪ DAR Manuell: implizit mit 0 angenommen, also keine Wirkung
▪ Zyklus: implizit mit 0 angenommen, also keine Wirkung
• c: Konstante eines Zyklus.
Dieser Parameter fungiert effektiv als Startwert der Mittellinie des Zyklus
Abbildung 162: Zyklus mit Konstante C=10 (links) und Konstante C=2 (rechts)[25]
o Explizite Erfassung bei:
▪ Zyklus
o Implizite Annahmen bei:
▪ Random Walk: nicht relevant da keine Zyklus
▪ Random Walk mit Drift: nicht relevant da keine Zyklus
▪ MA(1): nicht relevant da keine Zyklus
▪ AR(1): nicht relevant da keine Zyklus
▪ AR(1) + Mean Reversion: nicht relevant da keine Zyklus
▪ ARMA(1,1): nicht relevant da keine Zyklus
▪ ARMA(1,1) + Mean Reversion: nicht relevant da keine Zyklus
▪ ARMA(2,1) + Mean Reversion: nicht relevant da keine Zyklus
▪ Manuell: nicht relevant da keine Zyklus
▪ DAR Manuell: nicht relevant da keine Zyklus
• b: Drift eines Zyklus.
Der mittlere Wert der Schwingung erhöht sich um diesen Absolutwert.
Abbildung 163: Zyklus ohne Drift (b=0, links) und Drift b=0,1 (rechts)
o Explizite Erfassung bei:
▪ Zyklus
o Implizite Annahmen bei:
▪ Random Walk: nicht relevant da keine Zyklus
▪ Random Walk mit Drift: nicht relevant da keine Zyklus
▪ MA(1): nicht relevant da keine Zyklus
▪ AR(1): nicht relevant da keine Zyklus
▪ AR(1) + Mean Reversion: nicht relevant da keine Zyklus
▪ ARMA(1,1): nicht relevant da keine Zyklus
▪ ARMA(1,1) + Mean Reversion: nicht relevant da keine Zyklus
▪ ARMA(2,1) + Mean Reversion: nicht relevant da keine Zyklus
▪ Manuell: nicht relevant da keine Zyklus
▪ DAR Manuell: nicht relevant da keine Zyklus
• A: Amplitude der Schwingung bei Zyklus.
Die Variable schwingt mit +/- A (als Absolutwert) um seinen mittleren Wert
Abbildung 164: Zyklus mit Amplitude A=10 (links) und Amplitude A=2 (rechts)
o Explizite Erfassung bei:
▪ Zyklus
o Implizite Annahmen bei:
▪ Random Walk: nicht relevant da keine Zyklus
▪ Random Walk mit Drift: nicht relevant da keine Zyklus
▪ MA(1): nicht relevant da keine Zyklus
▪ AR(1): nicht relevant da keine Zyklus
▪ AR(1) + Mean Reversion: nicht relevant da keine Zyklus
▪ ARMA(1,1): nicht relevant da keine Zyklus
▪ ARMA(1,1) + Mean Reversion: nicht relevant da keine Zyklus
▪ ARMA(2,1) + Mean Reversion: nicht relevant da keine Zyklus
▪ Manuell: nicht relevant da keine Zyklus
▪ DAR Manuell: nicht relevant da keine Zyklus
• Zykluslänge: Anzahl der Perioden in denen der Zyklus eine komplette (Sinus-) Welle beschreibt
Durch die Modellierung der Sinuslinie „fängt“ die Schwingung, falls keine Phasenverschiebung erfasst wurde, bei seiner Mittellinie (also bei der Konstante) an und bewegt sich zuerst nach oben, bis die Periode t = 1/4*Zykluslänge erreicht wurde in der die maximale Schwingungshöhe erreicht wurde, und fängt danach wieder an, zu fallen. Die Linie schneidet die Mittellinie bei Periode t = ½*Zykluslänge und fällt weiter auf das Minimum, was in Perioden t = 3/4*Zykluslänge erreicht wird. Anschließend steigt es wieder und in Periode t = Zykluslänge erreicht es wieder die Mittellinie. In dieser Zeit hat die Schwingung eine komplette Welle gebildet.
Abbildung 165: Zyklus mit einer Zykluslänge von 20 (links) und eine Zykluslänge von 40 (rechts)
o Explizite Erfassung bei:
▪ Zyklus
o Implizite Annahmen bei:
▪ Random Walk: nicht relevant da keine Zyklus
▪ Random Walk mit Drift: nicht relevant da keine Zyklus
▪ MA(1): nicht relevant da keine Zyklus
▪ AR(1): nicht relevant da keine Zyklus
▪ AR(1) + Mean Reversion: nicht relevant da keine Zyklus
▪ ARMA(1,1): nicht relevant da keine Zyklus
▪ ARMA(1,1) + Mean Reversion: nicht relevant da keine Zyklus
▪ ARMA(2,1) + Mean Reversion: nicht relevant da keine Zyklus
▪ Manuell: nicht relevant da keine Zyklus
▪ DAR Manuell: nicht relevant da keine Zyklus
• f: Phasenverschiebung der Schwingung bei Zyklus.
Mit Hilfe dieses Parameters kann die Welle auf der X-Achse verschoben werden. Die Schwingung verhält sich also Periode t so, als ob sie (ohne Phasenverschiebung) in Periode t – f wäre. Bild unten stellt einen Zyklus ohne Phasenverschiebung und einen Zyklus mit Phasenverschiebung um die Hälfte der Zykluslänge dar (für eine plastischere Darstellung wurden keine Schwankungen betrachtet).
Abbildung 166: Zyklus ohne Phasenverschiebung (links) und Phasenverschiebung mit f=1/2*Zykluslänge (rechts)
o Explizite Erfassung bei:
▪ Zyklus
o Implizite Annahmen bei:
▪ Random Walk: nicht relevant da keine Zyklus
▪ Random Walk mit Drift: nicht relevant da keine Zyklus
▪ MA(1): nicht relevant da keine Zyklus
▪ AR(1): nicht relevant da keine Zyklus
▪ AR(1) + Mean Reversion: nicht relevant da keine Zyklus
▪ ARMA(1,1): nicht relevant da keine Zyklus
▪ ARMA(1,1) + Mean Reversion: nicht relevant da keine Zyklus
▪ ARMA(2,1) + Mean Reversion: nicht relevant da keine Zyklus
▪ Manuell: nicht relevant da keine Zyklus
▪ DAR Manuell: nicht relevant da keine Zyklus